N° 17/30 | « La Théorie des représentationsmodulaires des groupes algébriques réductifs et dualité de Langlands géométrique locale » Vous avez 2 heures…

Depuis 1980, les mathématiciens se creusaient les méninges sur la conjecture de Lusztig, une supposition uniquement admise durant des années puis contredite en 2013. Or en 2015, Simon Riche la valide et l’enrichit. D’après les spécialistes, c’est une avancée exceptionnelle !

De l’abstraction pure

Avant toute chose, sachez que ce sont des mathématiques très abstraites. Si abstraites qu’on ne leur connaît pas d’application pratique. Spécialiste de la théorie géométrique des représentations, le chercheur clermontois Simon Riche s’est intéressé aux notions en jeu dans la conjecture de Lusztig, une énigme mathématique vieille de 35 ans. Depuis 1980, des générations de mathématiciens se sont cassé les dents sur cette hypothèse. D’abord admise, sans jamais avoir été démontrée, exceptée dans des conditions particulières, la conjecture de Lusztig a été réfutée en 2013, par un chercheur australien, Geordie Williamson, qui a fourni une série de contre-exemples. Dans le monde des mathématiques, ce fut un véritable coup de tonnerre !

Une collaboration… avec celui qui avait contredit la conjecture de Lusztig

L’épopée mathématique ne pouvait pas s’achever ainsi. Simon Riche décide à son tour de s’y attaquer, en exploitant la théorie géométrique des représentations, une manière de représenter les objets mathématiques compliqués. Grâce à des matrices de nombres, il donne une nouvelle version de la conjecture, soutenu par Geordie Williamson, celui qui l’avait justement contredite. Conjuguant leurs talents, ils élaborent des outils et méthodes basés sur la symétrie, corrigent la conjecture de Lusztig et démontrent la nouvelle conjecture dans le cas du groupe linéaire. Avec le professeur américain Pramod Achar, Simon Riche aborde ensuite le cas des groupes réductifs généraux. Finalement, la nouvelle conjecture est validée ! De l’avis des spécialistes, un nouveau chapitre de la théorie géométrique des représentations vient de s’écrire.

Une médaille du CNRS et une bourse européenne prestigieuse

Cette avancée remarquable sur ″la théorie modulaire des représentations des groupes algébriques réductifs″ a été récompensée en 2016 par une médaille de bronze du CNRS pour Simon Riche. Mais plutôt que se reposer sur ses lauriers, le chercheur clermontois poursuit ses contributions à la théorie géométrique des représentations. Il vient en effet de recevoir pour la seconde fois la prestigieuse bourse du Conseil Européen de la Recherche (déjà obtenue en 2015), qui finance des projets de recherche exploratoire d’excellence. Celle-ci lui permettra de lancer son projet RedLang dans l’objectif « d’approfondir la compréhension de la théorie des représentations des groupes algébriques sur des corps de caractéristique positive et d’établir des nouveaux ponts avec la théorie des groupes p-adiques » et marquer une nouvelle fois les mathématiques de son empreinte !